数学系教材推荐和整理

引言

如果说生化环材是个天坑，里面埋葬着不少大学生，那么数学就是一个悬崖，一眼望去深不见底，只有几个神仙在天上飞。作为在悬崖底奋苦争扎的菜鸡，笔者根据自己上过的课程，整理了一些比较好的教材，希望能帮(quan)助(tui)到不撞南墙不回头的数学系萌新们。

数学分析

数学分析没啥特别推荐的教材，欧美的微积分教材过于简单，苏联的教材又过于粗暴。跟着教授用的教材走就行。以下推荐一些课外读物。

• PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS —— Walter Rudin
  又名Baby Rudin，虽然知乎上很多大佬推荐这本，但这本书极其不适合初学者入门。一个毫无基础的人如果第一次就能看懂这本书，那只能说是具有极高的天赋。正常情况下这本书是在学完大一的数学分析，有了一定的基础后，才适合阅读的。这本书抽象的数学语言可以为之后的泛函分析打下基础。

• 数学分析中的问题与反例 —— 汪林
  绝世好书，反直觉的反例可以打破萌新的“常识”，有助于形成严谨的思维逻辑，认识到很多“想当然”的结论其实并不是trivial的。

高等代数

• 高等代数 —— 丘维声
  国内少有的好教材。一套（上下册）管饱，看完能无缝接着去学抽象代数。我记得丘维声先生还往里面塞了一些现实问题的应用，比隔壁臭名昭著的《线性代数》要好多了。

• Linear Algebra Done Right —— Sheldon Axler
  线性代数经典教材，不过对数学系学生来说可能难度有点低，如果实在不喜欢国内教材那就选这本。

实变函数学十遍

• Real Analysis —— Elias M. Stein
  Stein四件套中的一本，“分析味”更重一些，习题的质量也不低。

• Real and Complex Analysis —— Walter Rudin
  没错，又是Rudin的书，姑且列在这里，质量应该有保证，不过我没看过。

复变函数

• Complex Analysis —— Elias M. Stein
  Stein四件套中的另一本，也是更侧重于分析。

• Complex Variables. Introduction and applications —— Ablowitz M.J., Fokas A.S.
  这本相比于上面那本更友好一些，没什么抽象的东西，更侧重于计算。如果只是入门的话看这本就行（以后不主攻物理or几何方向的话，可能你再也不会遇到复变了）

• Complex Analysis ——Lars V. Ahlfors
  感谢史大佬推荐，复变经典教材，必读书目之一，优先级比上面Stein的更高。

泛函分析心泛寒

重量级课程，数学系整个本科阶段最重要的课程，也是整个分析方向的入门课（数学分析只能算入门的入门）。学泛函最重要的是结合例子去学，每看到一个新的定义、定理或性质，就要思考有没有对应的example，无论是平凡的还是不平凡的。如果只懂得死记硬背定理和证明过程，那只能说是“入宝山而空手归”。

• Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications —— Philippe G. Ciarlet
  绝世好书！真正的量大管饱，里面硬是塞了实分析、泛函、PDE、甚至微分几何的内容。作者给的例子相当多，课后习题的质量也很优秀。对任何学泛函的人我都会优先推荐这本。不过近800页的砖头书，能不能看完就是另一回事了...

• Functional Analysis —— Walter Rudin
  没错，又是Rudin的书。这本书俗称Big Rudin （或Grandpa Rudin）。量比上面那本要少一些，拿来入门绰绰有余。

• Applied Analysis —— J. Hunter and B.Nachtergaele
  这本跟上面两本比起来有点过于友好，如果上面两本读起来都很痛苦那就选这本吧，里面的例子也都很简单。

• 教授的讲义(lecture note) —— Your Professor
  教授的讲义很多时候比教材更好，建议永久保存，以后回头复习的时候看讲义比啃砖头书效率要高很多。（碎碎念：我永远也忘不了大三的那一学期，一门Introduction to Analysis的课，一学期从Hahn-Banach定理杀到C*代数...每天上课，教授开局一支快没墨的水笔，眯着眼睛一通乱写就是十几块黑板的板书，并且没有一本教材能涵盖他讲的内容。自那以后，我真正意识到了纯数的神仙有多可怕，连夜卷铺盖跑路到了应数）

• Functional Analysis —— Peter D. Lax
  感谢史大佬的推荐。据大佬所说，这本对学方程的人比较友好。

偏微分方程（PDE）

紧随泛函的又一门重量级课程，特点是能写好几页A4纸的又臭又长的证明（计算）过程。相比起来常微分方程（ODE）实在是人畜无害，甚至有些可爱。PDE主要分两部分，第一部分是古典PDE（四大方程），这部分没什么理论难度，主要就是课后习题令人生畏的计算量，真的能写到手酸。第二部分就是基于Sobolev空间的解的分析（也是真正的难点），一般是研究生难度的课。

• Partial Differential Equations —— Lawrence C. Evans
  唯 一 指 定 教 材。可以说绝大多数的教授都会用Evans这本作为教材，国内很多教材也都抄借鉴的这本。本科阶段看Part 1, 研究生阶段看Part 2. 看完这本后根据自己的方向选更深入的教材。

• Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications —— Philippe G. Ciarlet
  是的，这本书往里面塞了一整章的PDE的内容。虽然对于PDE来说内容实在是有点少，但可以将泛函和PDE联系起来，体会到泛函在PDE里举足轻重的地位。

• Elliptic Partial Differential Equations of Second Order —— David Gilbarg
  感谢史大佬的推荐。PDE必读教材之一，建议在读完Evans后接着读这本。

密码论

• An Introduction to Mathematical Cryptography —— Jeffrey Hoffstein
  一本很不错的密码论入门书，结构清晰，注重理论证明，涵盖了椭圆曲线加密算法的内容，适合本科生拿来入门。

数值计算

• Applied Numerical Linear Algebra —— James W. Demmel
  丹老自己写的书自己上的课，虽然教授是cs的，但这本书的数学证明很充足，难度也不算高。

随机过程随机过 & SDE

• Introduction to Probability Models —— Sheldon M. Ross
  随机过程经典教材，这本书不需要实分析的基础，也没有抽象的概念，学完古典概率论就能看这本书。

• Probability: Theory and Examples —— Rick Durrett
  于大佬当年给我推荐的教材，基于测度论的随机过程，统计的研究生推荐看这本。

• Applied Stochastic Analysis Lecture Notes —— Miranda Holmes-Cerfon
  NYU教授的随机分析讲义，前面一大半都是随机过程的内容，看完Ross的书后可以直接跳到随机积分那章开始看。同样也是不需要测度论的基础（哥大应数系完全没有实分析这门课...）

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